2027학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 기하 30번

좌표공간에 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $10$인 구 $S$가 있다. 구 $S$ 위의 세 점 $\mathrm{A},\,\mathrm{B},\,\mathrm{C}$에 대하여

이다. 세 점 $\mathrm{A},\,\mathrm{B},\,\mathrm{C}$를 지나는 원 위의 한 점 $\mathrm{D}$에 대하여 두 선분 $\mathrm{AD},\,\mathrm{BC}$가 점 $\mathrm{E}$에서 만나고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 평면 $\mathrm{OAD}$ 위로의 정사영의 넓이는 $70$이다. 선분 $\mathrm{AE}$의 길이를 $k$라 할 때, $k^2$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{D}$는 점 $\mathrm{A},\,\mathrm{B},\,\mathrm{C}$가 아니다.) [4점]