2018학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 18번

그림과 같이 어느 행사장에서 바닥면이 등변사다리꼴이 되도록 무대 위에 $3$개의 직사각형 모양의 스크린을 설치하려고 한다.

양옆 스크린의 하단과 중앙 스크린의 하단이 만나는 지점을 각각 $\mathrm A$, $\mathrm B$라 하고, 만나지 않는 하단의 끝 지점을 각각 $\mathrm C$, $\mathrm D$라 하자. 사각형 $\mathrm{ACDB}$는 $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}$인 등변사다리꼴이고 $\overline{\mathrm{CD}}=20\,\mathrm m$, $\angle\mathrm{BAC}=120^\circ$이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 선분 $\mathrm{AC}$의 길이의 $4$배보다 크지 않고, 사다리꼴 $\mathrm{ACDB}$의 넓이는 $75\sqrt3\,\mathrm m^2$ 이하이다. 중앙 스크린의 가로인 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 $d(\mathrm m)$라 할 때, $d$의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, 스크린의 두께는 무시한다.) [4점]