2020학년도 대학수학능력시험 수학 영역 나형 18번

그림과 같이 한 변의 길이가 $5$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에

중심이 $\mathrm A$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{ABD}$를 그린다.

선분 $\mathrm{AD}$를 $3:2$로 내분하는 점을 $\mathrm{A_1}$, 점 $\mathrm{A_1}$을 지나고 선분

$\mathrm{AB}$에 평행한 직선이 호 $\mathrm{BD}$와 만나는 점을 $\mathrm{B_1}$이라 하자.

선분 $\mathrm{A_1B_1}$을 한 변으로 하고 선분 $\mathrm{DC}$와 만나도록 정사각형

$\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$을 그린 후, 중심이 $\mathrm{D_1}$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인

부채꼴 $\mathrm{D_1A_1C_1}$을 그린다. 선분 $\mathrm{DC}$가 호 $\mathrm{A_1C_1}$, 선분 $\mathrm{B_1C_1}$과

만나는 점을 각각 $\mathrm{E_1}$, $\mathrm{F_1}$이라 하고, 두 선분 $\mathrm{DA_1}$, $\mathrm{DE_1}$과 호

$\mathrm{A_1E_1}$로 둘러싸인 부분과 두 선분 $\mathrm{E_1F_1}$, $\mathrm{F_1C_1}$과 호 $\mathrm{E_1C_1}$로

둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을

$R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 정사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$에 중심이 $\mathrm{A_1}$이고 중심각의

크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{A_1B_1D_1}$을 그린다. 선분 $\mathrm{A_1D_1}$을 $3:2$로

내분하는 점을 $\mathrm{A_2}$, 점 $\mathrm{A_2}$를 지나고 선분 $\mathrm{A_1B_1}$에 평행한 직선이

호 $\mathrm{B_1D_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{B_2}$라 하자. 선분 $\mathrm{A_2B_2}$를 한 변으로

하고 선분 $\mathrm{D_1C_1}$과 만나도록 정사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$를 그린 후,

그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 정사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$에

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어

있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]