2025학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 28번

자연수 $k$에 대하여 두 곡선 $y=\left(\dfrac12\right)^{x-k-2}$, $y=\left(\dfrac12\right)^{x-k}-2$와 직선 $y=k$가 있다. 자연수 $n$에 대하여 직선 $x=n$이 두 곡선 $y=\left(\dfrac12\right)^{x-k-2}$, $y=\left(\dfrac12\right)^{x-k}-2$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 할 때 선분 $\mathrm{AB}$가 직선 $y=k$와 만나도록 하는 $n$의 최댓값과 최솟값의 합을 $f\left(k\right)$라 하자. $f\left(k\right)=15$를 만족시키는 $k$의 값을 구하시오. [4점]