초록띠 3기출문제

2005학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 16번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\begin{aligned}1\cdot n+2\cdot(n-1)+3\cdot(n-2)+\cdots+(n-1)\cdot2+n\cdot1\\=\frac{n(n+1)(n+2)}6\end{aligned}

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(i) $n=1$ 일 때, (좌변) $=1$ , (우변) $=1$ 이므로 주어진 식은 성립한다.

(ii) $n=k$ 일 때 성립한다고 가정하면

1\cdot k+2\cdot(k-1)+3\cdot(k-2)+\cdots+k\cdot1=\frac{k(k+1)(k+2)}6

이다. $n=k+1$ 일 때 성립함을 보이자.

\begin{aligned}&1\cdot(k+1)+2\cdot k+3\cdot(k-1)+\cdots+(k+1)\cdot1\\&=1\cdot k+2\cdot(k-1)+3\cdot(k-2)+\cdots+k\cdot1\\&\qquad+(1+2+3+\cdots+k)+\boxed{\text{(가)}}\\&=\frac{k(k+1)(k+2)}6+\boxed{\text{(나)}}\\&=\boxed{\text{(다)}}\end{aligned}

그러므로 $n=k+1$ 일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [4점]

\begin{array}{ccc}\underline{\text{(가)}}&\underline{\text{(나)}}&\underline{\text{(다)}}\end{array}

정답률 –풀이 수 –정답 시 +8 Rating

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