2013학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 11번

자연수 $n$에 대하여 직선 $y=n$이 두 곡선 $y=2^x$, $y=2^{x-1}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm A_n$, $\mathrm B_n$이라 하자. 또, 점 $\mathrm B_n$을 지나고 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$과 만나는 점을 $\mathrm C_n$이라 하자. $10$번과 $11$번의 두 물음에 답하시오.

선분 $\mathrm A_n\mathrm C_n$의 길이를 $f(n)$, 선분 $\mathrm B_n\mathrm C_n$의 길이를 $g(n)$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}n\{f(n)-g(n)\}$의 값은? [3점]