다음은 모든 자연수 n 에 대하여 부등식 \sum_{k=1}^n\frac{[\log3^k]}k\le[\log3^n]\qquad\cdots(*) 이 성립함을 증명한 것이다. (단, [x] 는 x 보다 크지 않은 최대 정수이다.) (1) n=1 일 때, (좌변) =[\log3] , (우변) =[\log3] 이므로 (*) 이 성립한다. (2) 임의의 자연수 i 에 대하여 a_i=\sum_{k=1}^i\frac{[\log3^k]}k,\qquad b_i=(i+1)(a_{i+1}-a_i) 라 하면 b_i=\boxed{\text{(가)}} 이…

파란띠 1기출문제

2012학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 18번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식

\sum_{k=1}^n\frac{[\log3^k]}k\le[\log3^n]\qquad\cdots(*)

이 성립함을 증명한 것이다. (단, $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대 정수이다.)

<증명>

(1) $n=1$ 일 때, (좌변) $=[\log3]$ , (우변) $=[\log3]$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.

(2) 임의의 자연수 $i$ 에 대하여

a_i=\sum_{k=1}^i\frac{[\log3^k]}k,\qquad b_i=(i+1)(a_{i+1}-a_i)

라 하면 $b_i=\boxed{\text{(가)}}$ 이다.

이때, $n\le m$ ( $m$ 은 자연수)일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면

a_i\le[\log3^i]\quad\text{(단, }i\text{는 }m\text{ 이하의 자연수)}

이제, $n=m+1$ 일 때 $(*)$ 이 성립함을 보이자.

\sum_{k=1}^m b_k=(m+1)a_{m+1}-\sum_{k=1}^m a_k-a_1

이므로

(m+1)a_{m+1}=\sum_{k=1}^m a_k+\boxed{\text{(나)}}

그런데 $[\log3^k]+[\log3^{m+1-k}]\le[\log3^{m+1}]$ 이므로

\begin{aligned}(m+1)a_{m+1}&\le\sum_{k=1}^m[\log3^k]+\sum_{k=1}^{m+1}[\log3^k]\\&=\sum_{k=1}^m\bigl([\log3^k]+[\log3^{m+1-k}]\bigr)+\boxed{\text{(다)}}\\&\le m[\log3^{m+1}]+[\log3^{m+1}]\\&=(m+1)[\log3^{m+1}]\end{aligned}

$\therefore a_{m+1}\le[\log3^{m+1}]$

그러므로 $n=m+1$ 일 때도 $(*)$ 이 성립한다.

따라서 (1)과 (2)에 의해 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(*)$ 이 성립한다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(i),g(m),h(m)$ 이라 할 때, $f(n)+g(n)-h(n)=9$ 를 만족시키는 자연수 $n$ 의 값은? [4점]

#사관학교 #4점 #2011년 시행 #2012학년도 #사관학교

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