2025학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 기하 28번

좌표공간에 두 점 $\mathrm{A}\left(a,\,0,\,0\right),\,\mathrm{B}\left(0,\,10\sqrt2,\,0\right)$과 구 $S:x^2+y^2+z^2=100$이 있다. $\angle \mathrm{APO}=\dfrac\pi2$인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형을 $C_1$, $\angle \mathrm{BQO}=\dfrac\pi2$인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{Q}$가 나타내는 도형을 $C_2$라 하자. $C_1$과 $C_2$가 서로 다른 두 점 $\mathrm{N}_1,\,\mathrm{N}_2$에서 만나고 $\cos\left(\angle \mathrm{N}_1\mathrm{ON}_2\right)=\dfrac35$일 때, $a$의 값은? (단, $a>10\sqrt2$이고, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]