2023학년도 대학수학능력시험 수학 영역 미적분 27번

그림과 같이 중심이 O, 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $OA_1B_1$이 있다. 호 $A_1B_1$ 위에 점 $P_1$, 선분 $OA_1$ 위에 점 $C_1$, 선분 $OB_1$ 위에 점 $D_1$을 사각형 $OC_1P_1D_1$이 $\overline{OC_1}:\overline{OD_1}=3:4$인 직사각형이 되도록 잡는다.

부채꼴 $OA_1B_1$의 내부에 점 $Q_1$을 $\overline{P_1Q_1}=\overline{A_1Q_1}$, $\angle P_1Q_1A_1=\frac{\pi}{2}$가 되도록 잡고, 이등변삼각형 $P_1Q_1A_1$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $OA_1$ 위의 점 $A_2$와 선분 $OB_1$ 위의 점 $B_2$를 $\overline{OQ_1}=\overline{OA_2}=\overline{OB_2}$가 되도록 잡고, 중심이 O, 반지름의 길이가 $\overline{OQ_1}$, 중심각의 크기가 $\frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $OA_2B_2$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 $P_2,\ C_2,\ D_2,\ Q_2$를 잡고, 이등변삼각형 $P_2Q_2A_2$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]