무리함수의 그래프 위 두 삼각형의 넓이의 비와 최댓값

상수 $a$에 대하여 곡선 $y=\sqrt{ax}$ 위의 점 중 점 $\mathrm{B}(7,0)$에 가장 가까운 점의 $x$좌표는 $3$이다. 이 곡선에 접하고 기울기가 $\dfrac{1}{3}$인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나는 직선이 곡선과 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{R}$에서 만나고, 삼각형 $\mathrm{BPR}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{BAP}$의 넓이의 $8$배이다. 곡선 위에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{R}$ 사이에 있는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이의 최댓값을 구하시오.