초록띠 5기출문제

2002학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 예·체능계 15번

다음은 명제 ‘ $a,b$ 가 자연수일 때 $a^2+b^2$ 이 $3$ 으로 나누어 떨어지면 $a^n+b^n\;(n=3,4,5,\cdots)$ 도 $3$ 으로 나누어 떨어진다’를 증명하는 과정이다.

$a,b$ 를 $3$ 으로 나누었을 때의 몫을 각각 $q_1,q_2$ 라 하고 나머지를 각각 $r_1,r_2$ 라 하면

a=3q_1+r_1,\qquad b=3q_2+r_2

\begin{aligned}\therefore\ a^2+b^2&=(3q_1+r_1)^2+(3q_2+r_2)^2\\&=3(3q_1^2+3q_2^2+\boxed{\text{(가)}})+r_1^2+r_2^2\end{aligned}

$a^2+b^2$ 이 $3$ 으로 나누어 떨어지므로

r_1=\boxed{\text{(나)}},\qquad r_2=\boxed{\text{(다)}}

따라서, $a^n+b^n\;(n=3,4,5,\cdots)$ 은 $3$ 으로 나누어 떨어진다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [2점]

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