2017학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 가형 28번

그림과 같이 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{DB}}=2$인 두 점 $\mathrm D$, $\mathrm E$가 있다. 두 선분 $\mathrm{AE}$, $\mathrm{DB}$를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 $\mathrm{AE}$, $\mathrm{DB}$가 만나는 점을 $\mathrm C$라 하고, 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 $\overline{\mathrm{O_1A}}=\overline{\mathrm{O_2B}}=1$인 두 점을 $\mathrm O_1$, $\mathrm O_2$라 하자.

호 $\mathrm{AC}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm P$와 호 $\mathrm{DC}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm Q$에 대하여 $|\overrightarrow{\mathrm{O_1P}}+\overrightarrow{\mathrm{O_2Q}}|$의 최솟값이 $\frac12$일 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $\frac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $1<\overline{\mathrm{O_1O_2}}<2$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]