2017학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 가형 29번

그림과 같이 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 $\frac\pi3$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm P$를 지나고 선분 $\mathrm{OB}$와 평행한 직선이 선분 $\mathrm{OA}$와 만나는 점을 $\mathrm Q$라 하고 $\angle\mathrm{AOP}=\theta$라 하자. 점 $\mathrm A$를 지름의 한 끝점으로 하고 지름이 선분 $\mathrm{AQ}$ 위에 있으며 선분 $\mathrm{PQ}$에 접하는 반원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$라 할 때, $\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0+}\frac{r(\theta)}\theta=a+b\sqrt3$이다. $a^2+b^2$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\frac\pi3$이고, $a$, $b$는 유리수이다.) [4점]