초록띠 4기출문제

2005학년도 대학수학능력시험 예비평가 수리 영역 가형 공통 14번

다음은 $\angle A=\frac\pi2$ 인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에서 변 $\mathrm{BC}$ 의 삼등분점을 각각 $D$ 와 $E$ 라고 할 때,

\overline{\mathrm{AD}}^2+\overline{\mathrm{AE}}^2+\overline{\mathrm{DE}}^2=\frac23\overline{\mathrm{BC}}^2

이 성립함을 벡터를 이용하여 증명한 것이다.

<증명>

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec a,\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec b$ 로 놓으면 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec b-\vec a$ 이고 다음이 성립한다.

\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{(가)}}

\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\boxed{\text{(나)}}

\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac13\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac13(\vec b-\vec a)

그러므로 다음을 얻는다.

|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2=\boxed{\text{(다)}}

|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|^2=\boxed{\text{(라)}}

|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|^2=\frac19(|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2)

|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|^2=\frac23(|\vec a|^2+|\vec b|^2+\vec a\cdot\vec b)

|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2=|\vec b|^2+|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b

이때, $\vec a\perp\vec b$ 이므로 $\vec a\cdot\vec b=0$ 이고 다음이 성립한다.

|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|^2=\frac23|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2

따라서 $\overline{\mathrm{AD}}^2+\overline{\mathrm{AE}}^2+\overline{\mathrm{DE}}^2=\frac23\overline{\mathrm{BC}}^2$ 이다.

위의 증명에서 (가)와 (라)에 알맞은 것은? [3점]

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