수열 \{a_n\} 에서 일반항 a_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2} 일 때, n\ge2 인 모든 자연수 n 에 대하여 a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+\sum_{i=1}^n\frac1i=na_n\quad\cdots(*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) n=2 일 때, (*) 에서 \begin{aligned}(\text{좌변})&=a_1+\frac11+\frac12=\boxed{\text{(가)}}\\(\text{우변})&=2a_2=\boxed{\text{(가)}}\end{alig…

파란띠 2기출문제

2015학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 16번

수열 $\{a_n\}$ 에서 일반항 $a_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$ 일 때,

$n\ge2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여

a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+\sum_{i=1}^n\frac1i=na_n\quad\cdots(*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) $n=2$ 일 때, $(*)$ 에서

\begin{aligned}(\text{좌변})&=a_1+\frac11+\frac12=\boxed{\text{(가)}}\\(\text{우변})&=2a_2=\boxed{\text{(가)}}\end{aligned}

(좌변)=(우변)이므로 $(*)$ 이 성립한다.

(2) $n=m$ $(m\ge2)$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면

a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{m-1}+\sum_{i=1}^m\frac1i=ma_m

이다.

$n=m+1$ 일 때, $(*)$ 이 성립함을 보이자.

\begin{aligned}&a_1+a_2+a_3+\cdots+a_m+\sum_{i=1}^{m+1}\frac1i\\&=\boxed{\text{(나)}}\times a_m+\frac1{m+1}\\&=(m+1)\left\{a_{m+1}-\frac1{(m+1)^2}\right\}+\frac1{m+1}\\&=(m+1)a_{m+1}\end{aligned}

따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(*)$ 이 성립한다.

(1), (2)에 의하여

$n\ge2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(*)$ 이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$ , (나)에 알맞은 식을 $f(m)$ 이라 할 때, $p\times f(3)$ 의 값은? [4점]

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