파란띠 3기출문제

2020학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 20번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}\frac1k=\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}\quad\cdots\cdots\;(\star)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

$(\star)$ 에서

S_n=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}\frac1k,\quad T_n=\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}

이라 하자.

(ⅰ) $n=1$ 일 때,

S_1=\boxed{\text{(가)}}=T_1

이므로 $(\star)$ 이 성립한다.

(ⅱ) $n=m$ 일 때,

$(\star)$ 이 성립한다고 가정하면 $S_m=T_m$ 이다.

$n=m+1$ 일 때, $(\star)$ 이 성립함을 보이자.

S_{m+1}=S_m+\frac1{2m+1}+\boxed{\text{(나)}},

T_{m+1}=T_m+\boxed{\text{(다)}}+\frac1{2m+1}+\frac1{2m+2}

이다.

$S_{m+1}-T_{m+1}=S_m-T_m$ 이고,

$S_m=T_m$ 이므로 $S_{m+1}=T_{m+1}$ 이다.

따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(\star)$ 이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(\star)$ 이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $a$ 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m)$ , $g(m)$ 이라 할 때, $a+\frac{g(5)}{f(14)}$ 의 값은? [4점]

#수학적 귀납법 #4점 #9월 학력평가 #2020년 시행 #2020학년도

정답률 –풀이 수 –정답 시 +13 Rating

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