2010학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 17번

그림과 같이 크기가 $60^\circ$인 $\angle\mathrm{AOB}$의 이등분선 위에 $\overline{\mathrm{OC}_1}=2$인 점 $\mathrm C_1$을 잡아 점 $\mathrm C_1$을 중심으로 하고 반직선 $\mathrm{OA}$와 $\mathrm{OB}$에 접하는 원 $\mathrm C_1$을 그릴 때, 원 $\mathrm C_1$과 반직선 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$와의 접점을 각각 $\mathrm P_1$, $\mathrm Q_1$이라 하자.

점 $\mathrm C_1$을 지나고 반직선 $\mathrm{OA}$와 $\mathrm{OB}$에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 $\mathrm C_2$, 원 $\mathrm C_2$와 반직선 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$와의 접점을 각각 $\mathrm P_2$, $\mathrm Q_2$라 하고, 원 $\mathrm C_1$과 원 $\mathrm C_2$가 만나는 점을 각각 $\mathrm A_1$, $\mathrm B_1$이라 할 때, 사각형 $\mathrm A_1\mathrm C_1\mathrm B_1\mathrm C_2$의 넓이를 $S_1$이라 하자.

점 $\mathrm C_2$를 지나고 반직선 $\mathrm{OA}$와 $\mathrm{OB}$에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 $\mathrm C_3$, 원 $\mathrm C_3$와 반직선 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$와의 접점을 각각 $\mathrm P_3$, $\mathrm Q_3$라 하고, 원 $\mathrm C_2$와 원 $\mathrm C_3$이 만나는 점을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$라 할 때, 사각형 $\mathrm A_2\mathrm C_2\mathrm B_2\mathrm C_3$의 넓이를 $S_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{4^n+3^n}$의 값은?

[4점]