2010학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 17번

다음은 이차방정식 $5x^2+5x+1=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, 행렬 $A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta-\alpha\\\alpha&\alpha^2+\alpha\beta\end{pmatrix}$에 대하여 $A^n$($n$은 자연수)을 구하는 과정이다.

$5x^2+5x+1=0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대하여 $\alpha+\beta=-1$, $\alpha\beta=\dfrac15$이므로

행렬 $A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta-\alpha\\\alpha&\boxed{\text{(가)}}\end{pmatrix}$이다.

이므로 자연수 $n$에 대하여

$n$이 홀수일 때, $A^n=\boxed{\text{(다)}}$이고

$n$이 짝수일 때, $A^n=\left(\dfrac15\right)^{\frac n2}E$이다. (단, $E$는 단위행렬이다.)

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[4점]