2025학년도 5월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 28번

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm F(1,0)$, $\mathrm F'(-1,0)$이고 단축의 길이가 $2\sqrt5$인 타원과 $y$축 위의 점 $\mathrm A$가 있다. 점 $\mathrm A$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm B$라 하자. 제$1$사분면에서 이 타원 위를 움직이는 점 $\mathrm P$에 대하여 네 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{FP}$, $\mathrm{PA}$로 둘러싸인 도형의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm P$를 $\mathrm P_0(a,b)$라 하자.

$\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm F\mathrm P_0}+\overline{\mathrm P_0\mathrm A}=2\sqrt6$일 때, $a\times b$의 값은?

(단, 점 $\mathrm A$의 $y$좌표는 양수이고, $\overline{\mathrm{AB}}<2\sqrt5$이다.) [4점]