자연수 N 에 대하여 수열 \{a_n\} 을 a_n=n(n+1)(n+2)\cdots(n+N-1) 이라 하자. 모든 자연수 n 에 대하여 \sum_{k=1}^na_k=\frac{N+n}{N+1}a_n\quad\cdots\cdots\quad(\bigstar) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (1) n=1 일 때, (\text{좌변})=\sum_{k=1}^1a_k=a_1=\boxed{\text{(가)}} (\text{우변})=\frac{N+1}{N+1}a_1=a_1=\boxed{\text{(가)}} 이므로 (\bigstar…

초록띠 5기출문제

2009학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 11번

자연수 $N$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 을 $a_n=n(n+1)(n+2)\cdots(n+N-1)$ 이라 하자.

모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^na_k=\frac{N+n}{N+1}a_n\quad\cdots\cdots\quad(\bigstar)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) $n=1$ 일 때,

(\text{좌변})=\sum_{k=1}^1a_k=a_1=\boxed{\text{(가)}}

(\text{우변})=\frac{N+1}{N+1}a_1=a_1=\boxed{\text{(가)}}

이므로 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

(2) $n=m$ 일 때, $(\bigstar)$ 이 성립한다고 가정하면

\sum_{k=1}^ma_k=\frac{N+m}{N+1}a_m

이다.

$n=m+1$ 일 때, $(\bigstar)$ 이 성립함을 보이자.

\sum_{k=1}^{m+1}a_k=\frac{N+m}{N+1}a_m+\boxed{\text{(나)}}

=\frac1{N+1}\times\frac{(m+N)!}{(m-1)!}+\boxed{\text{(나)}}

=\frac1{N+1}\{\boxed{\text{(다)}}\}

=\frac{N+m+1}{N+1}a_{m+1}

그러므로 $n=m+1$ 일 때도 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)　(나)　(다)

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