2019학년도 6월 모의평가 수학 영역 나형 18번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=1$, $\overline{\mathrm{A_1D_1}}=2$인 직사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$이

있다. 선분 $\mathrm{A_1D_1}$ 위의 $\overline{\mathrm{B_1C_1}}=\overline{\mathrm{B_1E_1}}$, $\overline{\mathrm{C_1B_1}}=\overline{\mathrm{C_1F_1}}$인

두 점 $\mathrm E_1$, $\mathrm F_1$에 대하여 중심이 $\mathrm B_1$인 부채꼴 $\mathrm{B_1E_1C_1}$과

중심이 $\mathrm C_1$인 부채꼴 $\mathrm{C_1F_1B_1}$을 각각 직사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$

내부에 그리고, 선분 $\mathrm{B_1E_1}$과 선분 $\mathrm{C_1F_1}$의 교점을 $\mathrm G_1$이라 하자.

두 선분 $\mathrm{G_1F_1}$, $\mathrm{G_1B_1}$과 호 $\mathrm{F_1B_1}$로 둘러싸인 부분과

두 선분 $\mathrm{G_1E_1}$, $\mathrm{G_1C_1}$과 호 $\mathrm{E_1C_1}$로 둘러싸인 부분인

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{B_1G_1}$ 위의 점 $\mathrm A_2$, 선분 $\mathrm{C_1G_1}$ 위의

점 $\mathrm D_2$와 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 위의 두 점 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$를 꼭짓점으로 하고

$\overline{\mathrm{A_2B_2}}:\overline{\mathrm{A_2D_2}}=1:2$인 직사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$를 그리고,

그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$

내부에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을

$R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어

있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]