2022학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 11번

그림과 같이 두 상수 $a,\,k$에 대하여 직선 $x=k$가 두 곡선 $y=2^{x-1}+1$, $y=\log_2\left(x-a\right)$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 곡선 $y=2^{x-1}+1$과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자.
$\overline{\mathrm{AB}}=8$, $\overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{2}$일 때, 곡선 $y=\log_2\left(x-a\right)$가 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{D}$에 대하여 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이는? (단, $0<a<k$) [4점]