2021학년도 6월 모의평가 수학 영역 가형 20번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}_1}=3$, $\overline{\mathrm{AC}_1}=2$이고 $\angle\mathrm B_1\mathrm{AC}_1=\frac\pi3$인 삼각형 $\mathrm{AB}_1\mathrm C_1$이 있다. $\angle\mathrm B_1\mathrm{AC}_1$의 이등분선이 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$과 만나는 점을 $\mathrm D_1$, 세 점 $\mathrm A$, $\mathrm D_1$, $\mathrm C_1$을 지나는 원이 선분 $\mathrm{AB}_1$과 만나는 점 중 $\mathrm A$가 아닌 점을 $\mathrm B_2$라 할 때, 두 선분 $\mathrm B_1\mathrm B_2$, $\mathrm B_1\mathrm D_1$과 호 $\mathrm B_2\mathrm D_1$로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm C_1\mathrm D_1$과 호 $\mathrm C_1\mathrm D_1$로 둘러싸인 부분인

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 점 $\mathrm B_2$를 지나고 직선 $\mathrm B_1\mathrm C_1$에 평행한 직선이 두 선분 $\mathrm{AD}_1$, $\mathrm{AC}_1$과 만나는 점을 각각 $\mathrm D_2$, $\mathrm C_2$라 하자.

세 점 $\mathrm A$, $\mathrm D_2$, $\mathrm C_2$를 지나는 원이 선분 $\mathrm{AB}_2$와 만나는 점 중 $\mathrm A$가 아닌 점을 $\mathrm B_3$이라 할 때, 두 선분 $\mathrm B_2\mathrm B_3$, $\mathrm B_2\mathrm D_2$와 호 $\mathrm B_3\mathrm D_2$로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm C_2\mathrm D_2$와 호 $\mathrm C_2\mathrm D_2$로 둘러싸인 부분인

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]