2016학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 29번

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 기울기가 $1$이고 $y$절편이 양수인 직선이 원 $x^2+y^2=\dfrac{n^2}2$에 접할 때, 이 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}_n$, $\mathrm{B}_n$이라 하자. 점 $\mathrm{A}_n$을 지나고 기울기가 $-2$인 직선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}_n$이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{A}_n\mathrm{C}_n\mathrm{B}_n$과 그 내부의 점들 중 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $a_n$이라 하자. $\displaystyle\sum_{n=1}^{10}a_n$의 값을 구하시오. [4점]