에드거의 브롤볼

에드거가 평면 위에서 공을 가지고 $120$만큼 떨어진 직선의 골대로 초당 $1$의 속력으로 가고 있다. 에드거는 상대팀의 공격을 피하기 위해 다음과 같이 움직인다.

에드거는 현재 위치에서 골대에 내린 수선의 발을 향해 똑바로 선 후, 그 정면을 기준으로 좌우 $90^{\scriptstyle\circ}$ 이내의 방향 중 하나를 균등한 확률로 선택한다.

선택한 방향으로 $1$초 동안 직진하고 이 과정을 계속 반복한다.

에드거가 $1$초 동안 골대와 수직으로 가까워지는 거리의 기댓값을 유효 접근 속력 $v$라 하자. 에드거가 이 유효 접근 속력 $v$로 골대에 도달하기까지 걸리는 시간이 $p$초일 때, $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\dfrac{p}{\pi}$의 값을 구하시오. (단, 에드거의 모든 방향 선택은 서로 독립적이다.)