2017학년도 9월 모의평가 수학 영역 가형 29번

그림과 같이 직선 $l$을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 $\dfrac\pi4$인 두 평면 $\alpha$와 $\beta$가 있고, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{A}$와 평면 $\beta$ 위의 점 $\mathrm{B}$가 있다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\overline{\mathrm{AD}}=\sqrt3$이고 직선 $\mathrm{AB}$와 평면 $\beta$가 이루는 각의 크기가 $\dfrac\pi6$일 때, 사면체 $\mathrm{ABCD}$의 부피는 $a+b\sqrt2$이다. $36\left(a+b\right)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 유리수이다.) [4점]