2022학년도 대학수학능력시험 수학 영역 공통 15번

$\angle \mathrm{C}\mathrm{O_2}\mathrm{O}_1+\angle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{D}=\pi$이므로 $\theta_3=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\theta_2}{2}$이고 $\theta_3=\theta_1+\theta_2$에서 $2\theta_1+\theta_2=\pi$이므로 $\angle \mathrm{C}\mathrm{O_1}\mathrm{B}=\theta_1$이다. 이때 $\angle \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{B}=\theta_1+\theta_2=\theta_3$이므로 삼각형 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{B}$와 삼각형 $\mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{D}$는 합동이다.
$\overline{\mathrm{AB}}=k$라 할 때 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{O_2}}=\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}}=2\sqrt{2}k$이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{O_2}}=\boxed{\,\text{(가)}\,}$이고, $\angle \mathrm{B}\mathrm{O_2}\mathrm{A}=\dfrac{\theta_1}{2}$이므로 $\cos\dfrac{\theta_1}{2}=\boxed{\,\text{(나)}\,}$이다.
삼각형 $\mathrm{O}_2\mathrm{BC}$에서 $\overline{\mathrm{BC}}=k,\,\overline{\mathrm{B}\mathrm{O_2}}=2\sqrt{2}k,\,\angle \mathrm{C}\mathrm{O_2}\mathrm{B}=\dfrac{\theta_1}{2}$이므로 코사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}}=\boxed{\,\text{(다)}\,}$이다.
$\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2}+\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}}$이므로 $\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{CD}}=k:\left(\dfrac{\boxed{\,\text{(가)}\,}}{2}+\boxed{\,\text{(다)}\,}\right)$이다.