2023학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 29번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=1$, $\angle\mathrm{BAC}=\dfrac\pi2$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 모양의 종이가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm D$, 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm E$, 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 점 $\mathrm F$에 대하여 선분 $\mathrm{EF}$를 접는 선으로 하여 점 $\mathrm A$가 점 $\mathrm D$와 겹쳐지도록 접었다. 삼각형 $\mathrm{BDE}$와 삼각형 $\mathrm{DCF}$의 외접원의 반지름의 길이의 비가 $2:1$일 때, 선분 $\mathrm{DF}$의 길이는 $\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 고려하지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]