2018학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 가형 20번

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 ‘(i) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우’에서 ‘(ii) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우’와 ‘(iii) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다.

(i)의 경우 :

$n$명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 $n$명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 $n$개의 상자를 선택하는 경우의 수인 $\boxed{\text{(\char44032 )}}$이다.

(ii)의 경우 :

각 상자에 $\dfrac{2n}{3}$개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 $1$이다.

(iii)의 경우 :

두 상자 $\mathrm A$, $\mathrm B$에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 $\mathrm C$에는 최대 $n$개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 $\mathrm A$, $\mathrm B$에 각각 $\dfrac n2$개보다 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 $\mathrm A$, $\mathrm B$에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 $\boxed{\text{(\char45208 )}}$이다.

그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 ${}_3\mathrm C_2\times\left(\boxed{\text{(\char45208 )}}-1\right)$이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 $\boxed{\text{(\char45796 )}}$이다.