29. 두 정수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 이 있다. 모든 자연수 에 대하여 이고, 이다. 수열 과 인 등비수열 에 대하여 일 때, 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

2025년 6월 고3 모의평가 미적분 29번

Q2025년 6월 고3 모의평가 미적분 29번

다이아몬드 V

29. 두 정수 $\alpha,\ \beta\ (\alpha>\beta)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$ 이 있다.

모든 자연수 $n$ 에 대하여

a_n=\alpha\sin\frac{n\pi}{2}+\beta\cos\frac{n\pi}{2}

이고, $a_1\times a_2\times a_3\times a_4=4$ 이다.

수열 $\{a_n\}$ 과 $b_1>0$ 인 등비수열 $\{b_n\}$ 에 대하여

\sum_{n=1}^{\infty}(a_{4n-2}b_n)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_{4n-3}b_{2n})=6

일 때, $b_1\times b_3=\frac qp$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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