2009학년도 대학수학능력시험 수리 영역 나형 14번

좌표평면에 원 $C_1:(x-4)^2+y^2=1$이 있다. 그림과 같이 원점에서 원 $C_1$에 기울기가 양수인 접선 $l$을 그었을 때 생기는 접점을 $P_1$이라 하자.

중심이 직선 $l$ 위에 있고 점 $P_1$을 지나며 $x$축에 접하는 원을 $C_2$라 하고 이 원과 $x$축의 접점을 $P_2$라 하자.

중심이 $x$축 위에 있고 점 $P_2$를 지나며 직선 $l$에 접하는 원을 $C_3$이라 하고 이 원과 직선 $l$의 접점을 $P_3$이라 하자.

중심이 직선 $l$ 위에 있고 점 $P_3$을 지나며 $x$축에 접하는 원을 $C_4$라 하고 이 원과 $x$축의 접점을 $P_4$라 하자.

이와 같은 과정을 계속할 때, 원 $C_n$의 넓이를 $S_n$이라 하자. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? (단, 원 $C_{n+1}$의 반지름의 길이는 원 $C_n$의 반지름의 길이보다 작다.) [4점]