2005학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 가형 이산수학 29번

${}_{n+3}C_{n+1}$은 집합 $A=\{1,2,\cdots,n+3\}$의 부분집합 중에서 원소의 개수가 $n+1$인 부분집합의 개수이다. 이것을 다른 방법으로 세어보자.

(ⅰ) 집합 $A$의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 $\boxed{\text{(가)}}$이고 원소의 개수가 $n+1$인 부분집합의 개수는 ${}_{n}C_n$이다.

(ⅱ) 집합 $A$의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 $\boxed{\text{(나)}}$이고 원소의 개수가 $n+1$인 부분집합의 개수는 ${}_{n+1}C_n$이다.

(ⅲ) 집합 $A$의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 $\boxed{\text{(다)}}$이고 원소의 개수가 $n+1$인 부분집합의 개수는 ${}_{n+2}C_n$이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여

${}_nC_n+{}_{n+1}C_n+{}_{n+2}C_n={}_{n+3}C_{n+1}$이 성립한다.