2020학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 30번

함수 $f(x)=\sin\frac\pi2x$와 $0$이 아닌 두 실수 $a$, $b$에 대하여 함수 $g(x)$를

라 하자. 함수 $g(x)$가 $x=\alpha$에서 극대 또는 극소인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\cdots$, $\alpha_m$ ($m$은 자연수)라 할 때, $m$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $\alpha_n$은 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $g(x)$가 서로 다른 두 개의 극댓값을 갖고 그 합이 $e^3+e^{-3}$일 때, $m\pi\int_{\alpha_3}^{\alpha_4}g(x)\cos\frac\pi2x\,dx=pe^3+qe$이다. $p-q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 정수이다.) [4점]