2025학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 29번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=4$, $\overline{\mathrm{AC}}=5$, $\cos\left(\angle\mathrm{BAC}\right)=\dfrac18$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$를 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$, 직선 $\mathrm{AD}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원과 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{E}$라 하자. 점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{CE}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{F}$라 할 때, 선분 $\mathrm{FC}$의 길이는 $\dfrac qp\sqrt{11}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]