2025학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 29번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=4$, $\overline{\mathrm{AC}}=5$, $\cos(\angle\mathrm{BAC})=\frac18$인 삼각형 ABC가 있다. 선분 BC를 $1:2$로 내분하는 점을 D, 직선 AD가 삼각형 ABC의 외접원과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 E라 하자. 점 D에서 선분 CE에 내린 수선의 발을 F라 할 때, 선분 FC의 길이는 $\frac qp\sqrt{11}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]