같은 값을 갖는 세 거듭제곱과 실수인 거듭제곱근의 개수

$1$보다 큰 두 실수 $a$, $b$와 자연수 $p$, $q$에 대하여

이 성립한다. $p-q$의 $p$제곱근 중 실수인 것이 존재하지 않도록 하는 순서쌍 $(p,\,q)$에 대하여 $p$의 최댓값은?