파란띠 1기출문제

2017학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 가형 17번

그림과 같이 포물선 $y^2=4x$ 위의 점 $\mathrm A(t^2,2t)$ 에서 이 포물선의 준선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm B$ 라 하자.

다음은 점 $\mathrm A$ 에서의 접선과 직선 $\mathrm{OB}$ 가 만나는 점을 $\mathrm P$ 라 할 때, 점 $\mathrm P$ 의 좌표를 구하는 과정이다. (단, $t\ne0$ 이고 $\mathrm O$ 는 원점이다.)

포물선의 방정식 $y^2=4x$ 의 양변을 $x$ 에 대하여 미분하여 정리하면

\frac{dy}{dx}=\boxed{\text{(\char44032 )}}\;\text{(\char45800 , }y\ne0\text{)}

이므로 점 $\mathrm A(t^2,2t)$ 에서의 접선의 방정식을 구하면

y=\boxed{\text{(\char45208 )}}\times x+t\qquad\cdots\cdots\;\text{\char12896 }

이다.

$\mathrm B\left(\boxed{\text{(\char45796 )}},2t\right)$ 이므로 직선 $\mathrm{OB}$ 의 방정식은

y=\frac{2t}{\boxed{\text{(\char45796 )}}}x\qquad\cdots\cdots\;\text{\char12897 }

이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 $\mathrm P$ 의 좌표를 구하면

\left(\boxed{\text{(\char45796 )}}\times\frac{t^2}{2t^2+1},\;\frac{2t^3}{2t^2+1}\right)

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(y)$ , $g(t)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $a$ 라 할 때, $f(a)\times g(a)$ 의 값은? [4점]

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