다음은 모든 자연수 n 에 대하여 부등식 \sum_{i=1}^{2n+1}\frac1{n+i}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1}>1 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. 자연수 n 에 대하여 a_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1} 이라 할 때, a_n>1 임을 보이면 된다. (1) n=1 일 때 a_1=\frac12+\frac13+\frac14>1 이다. (2) n=k 일 때 a_k>1 이라고 가정하면 n=k+1 일 때 \begin{a…

초록띠 5기출문제

2005학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 공통 12번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식

\sum_{i=1}^{2n+1}\frac1{n+i}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1}>1

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

자연수 $n$ 에 대하여

a_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1}

이라 할 때, $a_n>1$ 임을 보이면 된다.

(1) $n=1$ 일 때 $a_1=\frac12+\frac13+\frac14>1$ 이다.

(2) $n=k$ 일 때 $a_k>1$ 이라고 가정하면

$n=k+1$ 일 때

\begin{aligned}a_{k+1}&=\frac1{k+2}+\frac1{k+3}+\cdots+\frac1{3k+4}\\&=a_k+\left(\frac1{3k+2}+\frac1{3k+3}+\frac1{3k+4}\right)-\boxed{\text{(가)}}\end{aligned}

한편, $(3k+2)(3k+4)\;\boxed{\text{(나)}}\;(3k+3)^2$ 이므로

\frac1{3k+2}+\frac1{3k+4}>\boxed{\text{(다)}}

그런데 $a_k>1$ 이므로

a_{k+1}>a_k+\left(\frac1{3k+3}+\boxed{\text{(다)}}\right)-\boxed{\text{(가)}}>1

그러므로 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n>1$ 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

$\begin{array}{ccc}\underline{\text{(가)}}&\underline{\text{(나)}}&\underline{\text{(다)}}\end{array}$

#수학적 귀납법 #추론·증명 #수능 #3점 #2005학년도 #2004년 시행

정답률 –풀이 수 –정답 시 +10 Rating

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