2023학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 11번

자연수 $n$에 대하여 직선 $x=n$이 직선 $y=x$와 만나는 점을 $P_n$, 곡선 $y=\frac1{20}x\left(x+\frac13\right)$과 만나는 점을 $Q_n$, $x$축과 만나는 점을 $R_n$이라 하자. 두 선분 $P_nQ_n,\ Q_nR_n$의 길이 중 작은 값을 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{10}a_n$의 값은? [4점]