2015학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 21번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 모양의 종이 ABCD에서 각 변의 중점을 각각 $\mathrm A_1$, $\mathrm B_1$, $\mathrm C_1$, $\mathrm D_1$이라 하고 $\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}$, $\overline{\mathrm B_1\mathrm C_1}$, $\overline{\mathrm C_1\mathrm D_1}$, $\overline{\mathrm D_1\mathrm A_1}$을 접는 선으로 하여 네 점 A, B, C, D가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 $S_1$이라 하자.

$S_1$에서 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$의 각 변의 중점을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$, $\mathrm D_2$라 하고 $\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}$, $\overline{\mathrm B_2\mathrm C_2}$, $\overline{\mathrm C_2\mathrm D_2}$, $\overline{\mathrm D_2\mathrm A_2}$를 접는 선으로 하여 네 점 $\mathrm A_1$, $\mathrm B_1$, $\mathrm C_1$, $\mathrm D_1$이 한 점에서 만나도록 접은 모양을 $S_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 모양을 $S_n$이라 하고, $S_n$을 정사각형 모양의 종이 ABCD와 같도록 펼쳤을 때 접힌 모든 선들의 길이의 합을 $l_n$이라 하자. 예를 들어, $l_1=4\sqrt2$이다.

$l_5$의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]