노란띠 5기출문제

2014학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 A형 12번

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=3$ 이고

na_{n+1}-2na_n+\frac{n+2}{n+1}=0\quad(n\ge1)

을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 이

a_n=2^n+\frac1n\qquad\cdots\cdots\ (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) $n=1$ 일 때, (좌변) $=a_1=3$ , (우변) $=2^1+\frac11=3$ 이므로 (*)이 성립한다.

(ⅱ) $n=k$ 일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 $a_k=2^k+\frac1k$ 이므로

ka_{k+1}=2ka_k-\frac{k+2}{k+1}

=\boxed{\text{(가)}}-\frac{k+2}{k+1}

=k2^{k+1}+\boxed{\text{(나)}}

이다. 따라서 $a_{k+1}=2^{k+1}+\frac1{k+1}$ 이므로 $n=k+1$ 일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n=2^n+\frac1n$ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k),\ g(k)$ 라 할 때, $f(3)\times g(4)$ 의 값은? [3점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +5 Rating

댓글을 불러오는 중…

댓글을 작성하려면 로그인하세요

수학도장

수학 문제를 풀어 레이팅을 쌓고, 직접 만든 문제를 공식 문제로 등록하는 수학 랭크 플랫폼

서비스

채널

유튜브 수학한수공식 시즌전 (예정)

정책