2006학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 공통 16번

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) $n=1$일 때, (좌변)$=2$, (우변)$=2$이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) $n=m$일 때 성립한다고 가정하면

$$\sum_{k=1}^m(5k-3)\left(\frac1k+\frac1{k+1}+\frac1{k+2}+\cdots+\frac1m\right)=\frac{m(5m+3)}4$$

이다. $n=m+1$일 때 성립함을 보이자.

$$\sum_{k=1}^{m+1}(5k-3)\left(\frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{m+1}\right)$$

$$=\sum_{k=1}^m(5k-3)\left(\frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{m+1}\right)+\frac{\boxed{\text{(가)}}}{m+1}$$

$$=\sum_{k=1}^m(5k-3)\left(\frac1k+\frac1{k+1}+\cdots+\frac1{\boxed{\text{(나)}}}\right)$$

$$\quad+\frac1{m+1}\sum_{k=1}^m(5k-3)+\frac{\boxed{\text{(가)}}}{m+1}$$

$$=\frac{m(5m+3)}4+\frac1{m+1}\sum_{k=1}^{m+1}\left(\boxed{\text{(다)}}\right)$$

$$=\frac{(m+1)(5m+8)}4$$

그러므로 $n=m+1$일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]