• 직선 $P_nQ_n$과 직선 $l$이 서로 수직이다.

• $\overline{P_nQ_n}=\overline{P_nP_{n+1}}$이고 점 $P_{n+1}$의 $x$좌표는 점 $P_n$의 $x$좌표보다 크다.

자연수 $n$에 대하여 점 $Q_n$을 지나고 직선 $l$과 평행한 직선이 선분 $P_{n+1}Q_{n+1}$과 만나는 점을 $R_{n+1}$이라 하면 사각형 $P_nQ_nR_{n+1}P_{n+1}$은 정사각형이다.

직선 $l$의 기울기가 $\frac12$이므로 $\overline{R_{n+1}Q_{n+1}}=\boxed{\,\text{(가)}\,}\times\overline{P_nP_{n+1}}$이고 $\overline{P_{n+1}Q_{n+1}}=(1+\boxed{\,\text{(가)}\,})\times\overline{P_nQ_n}$이다. 이때 $\overline{P_1Q_1}=1$이므로 $\overline{P_nQ_n}=\boxed{\,\text{(나)}\,}$이다.

그러므로 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $\overline{P_1P_n}=\sum_{k=1}^{n-1}\overline{P_kP_{k+1}}=\boxed{\,\text{(다)}\,}$이다. 따라서 삼각형 $OQ_nP_n$의 넓이는 $\frac12\times\overline{P_nQ_n}\times\overline{P_1P_n}=\frac12\times\boxed{\,\text{(나)}\,}\times(\boxed{\,\text{(다)}\,})$이다.