2023학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 미적분 29번

그림과 같이 중심이 $O$, 반지름의 길이가 $8$이고 중심각의 크기가 $\dfrac\pi2$인 부채꼴 $OAB$가 있다. 호 $AB$ 위의 점 $C$에 대하여 점 $B$에서 선분 $OC$에 내린 수선의 발을 $D$라 하고, 두 선분 $BD$, $CD$와 호 $BC$에 동시에 접하는 원을 $\mathcal C$라 하자. 점 $O$에서 원 $\mathcal C$에 그은 접선 중 점 $C$를 지나지 않는 직선이 호 $AB$와 만나는 점을 $E$라 할 때, $\cos(\angle COE)=\dfrac7{25}$이다.

$\sin(\angle AOE)=p+q\sqrt7$일 때, $200\times(p+q)$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 유리수이고, 점 $C$는 점 $B$가 아니다.) [4점]