원에 내접한 삼각형과 접선의 교점

그림과 같이 원 ${\rm O}$에 내접하는 삼각형 ${\rm ABC}$가 있다. 선분 ${\rm BC}$의 중점을 ${\rm M}$, 직선 ${\rm AM}$이 원 ${\rm O}$와 만나는 점 중 ${\rm A}$가 아닌 점을 ${\rm D}$, 원 ${\rm O}$ 위의 점 ${\rm C}$에서의 접선이 직선 ${\rm AB}$와 만나는 점을 ${\rm E}$라 하자. 이때 다음이 성립한다.

$\overline{\rm OE}^2=\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)