다음은 모든 자연수 n에 대하여
k=1∑n(2k−1)(2n+1−2k)2=3n2(2n2+1) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
(ⅰ) n=1일 때, (좌변)=1, (우변)=1이므로 주어진 등식은 성립한다.
(ⅱ) n=m일 때, 등식 k=1∑m(2k−1)(2m+1−2k)2=3m2(2m2+1)이 성립한다고 가정하자. n=m+1일 때,
k=1∑m+1(2k−1)(2m+3−2k)2 =k=1∑m(2k−1)(2m+3−2k)2+(가) =k=1∑m(2k−1)(2m+1−2k)2+(나)×k=1∑m(2k−1)(m+1−k)+(가) =3(m+1)2{2(m+1)2+1} 이다. 따라서 n=m+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
위의 (가)에 알맞은 식을 f(m), (나)에 알맞은 수를 p라 할 때, f(3)+p의 값은? [4점]
