수열 {an}을
a1=1,a2=2,an+2=an+1+n+1an 으로 정의할 때, 다음은 수열 {an}의 일반항을 구하는 과정이다.
bn=n+1an이라 놓으면 an=(n+1)bn이므로
(n+3)bn+2=((가))bn+1+bn (n+3)(bn+2−bn+1)=−(bn+1−bn)⋯⋯ (★) 식 (★)에 n=1, 2, ⋯, m−1 (m≥2)를 대입하면
4(b3−b2)5(b4−b3)(m+2)(bm+1−bm)=−(b2−b1)=−(b3−b2)⋮=−(bm−bm−1) 좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,
bm+1−bm=(−41)(−51)⋯(−m+21)(b2−b1) bn=b1+k=1∑n−1(bk+1−bk)(n≥2) 따라서 a1=1, an=(n+1)(21+k=1∑n−1(나)) (n≥2)이다.
위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 f(n), g(k)라 할 때, f(1)g(3)의 값은? [4점]
