2008학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 23번

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD에서 선분 AB와 선분 AD를 각각 $m:n$으로 내분하는 점을 지나는 두 직선을 그어 만들어지는 4개의 사각형 중 아랫부분 정사각형의 넓이를 $S_1$, 윗부분의 정사각형을 $\mathrm{A_1B_1CD_1}$이라 하자. [4점]

다시 정사각형 $\mathrm{A_1B_1CD_1}$에서 선분 $\mathrm{A_1B_1}$과 선분 $\mathrm{A_1D_1}$을 각각 $m:n$으로 내분하는 점을 지나는 두 직선을 그어 만들어지는 4개의 사각형 중 아랫부분 정사각형의 넓이를 $S_2$, 윗부분의 정사각형을 $\mathrm{A_2B_2CD_2}$라 하자.

이와 같은 시행을 무한히 반복할 때, $\sum\limits_{k=1}^{\infty}S_k=\frac17$이다.

$m^2+n^2$의 값을 구하시오. (단, $m$, $n$은 서로소인 자연수)