2010학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 30번

$\angle\mathrm B=\frac\pi3,\ \overline{\mathrm{AB}}=4,\ \overline{\mathrm{BC}}=6$인 $\triangle\mathrm{ABC}$에 대하여 $\angle\mathrm B$의 이등분선이 $\overline{\mathrm{AC}}$와 만나는 점을 $\mathrm A_1$이라 할 때, $\triangle\mathrm{ABA}_1$의 넓이를 $S_1$이라 하자.

점 $\mathrm A_1$에서 $\overline{\mathrm{AB}}$에 평행한 직선을 그어 $\overline{\mathrm{BC}}$와 만나는 점을 $\mathrm B_1$, $\angle\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C$의 이등분선이 $\overline{\mathrm{AC}}$와 만나는 점을 $\mathrm A_2$라 할 때, $\triangle\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm A_2$의 넓이를 $S_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 $\triangle\mathrm A_{n-1}\mathrm B_{n-1}\mathrm A_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은 $\frac{q\sqrt3}p$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm A_0=\mathrm A,\ \mathrm B_0=\mathrm B$이고 $p,q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]