2010학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 10번

모든 항이 양수인 두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여 $a_n$, $b_n$, $a_{n+1}$은 이 순서대로 등차수열을 이루고, $b_n$, $a_{n+1}$, $b_{n+1}$은 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 일반항 $a_n$과 $b_n$을 구하는 과정이다. (단, $a_1=1$, $a_2=3$, $b_1=2$)

$a_n$, $b_n$, $a_{n+1}$은 이 순서대로 등차수열을 이루므로

이다.

$b_n$, $a_{n+1}$, $b_{n+1}$은 이 순서대로 등비수열을 이루므로

이고, $a_{n+1}>0$, $a_{n+2}>0$이므로

이다.

또한, ㉠, ㉡에서 얻어진 $2b_{n+1}=\sqrt{b_nb_{n+1}}+\sqrt{b_{n+1}b_{n+2}}$의 양변을 $\sqrt{b_{n+1}}$로 나누면 $2\sqrt{b_{n+1}}=\sqrt{b_n}+\sqrt{b_{n+2}}$이므로 $\{\sqrt{b_n}\}$은 $\boxed{\text{(가)}}$ 수열이다.

그러므로 $a_2=3$, $b_1=2$, $(a_2)^2=b_1b_2$에서 $b_2=\dfrac92$이므로 $b_n=\boxed{\text{(나)}}$이다.

따라서, $a_n=\boxed{\text{(다)}}$이다.

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[4점]